그림 출처: http://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B7%B8%EB%A6%BC:M%C3%B6bius_strip.jpg
뫼비우스는 1790년생 개띠입니다. 우리 아빠랑 띠동갑이죠.










뫼비우스의 띠는 위 그림에서 보듯이, 길다란 직사각형의 양쪽 끝을 반바퀴 꼬아 붙여서 만들어지는 도형입니다. 제로에서 크레이지 스텝이 추가되었습니다. 이 글에서는 뫼비우스의 띠에 대해 병맛호기심 많은 중고등학생 여러분이 빠지기 쉬운 오해들을 간단히 정리해 보겠습니다. 아주 기본적인 오해들이니까 중고등학생이 아니라면 특별히 읽을 필요가 없을지도 모르겠습니다만, 이왕 들어온 김에 끝까지 읽고 덧글도 좀 다시져. 제목은 낚시용으로 저렇게 붙였을 뿐 특별히 싸우자는 건 아니..지만, 덧글만 달리면 키배도 좋을지도!

오해 1. 뫼비우스의 띠는 3차원이다/4차원이다.

"뫼비우스의 띠가 몇차원 인가요? 제가 알기론 3차원이라고 알고있는데 친구가 계속 4차원 이라고 하네요-_-"[1] "똑같은 지점에서 출발하여 한 바퀴 돌면 그 다음에는 뒷면에 있게 됩니다 그래서 시간에 따라 있는 위치가 달라지므로 3차원 공간에 사차원을 구현한 것이라고 보면 맞습니다."[1]

도형 자체의 차원과, 그 도형이 담겨 있는 공간의 차원을 구분해야 합니다. 우리 주변에서 볼 수 있는 종이는 (두께를 무시하면) 2차원 도형이지만, 3차원 공간에 담겨 있지요. 마찬가지로, 우리가 종이를 이용해서 직접 만든 뫼비우스의 띠는 2차원 도형이지만, 우리가 살고 있는 3차원 공간에 담겨 있습니다. 하지만 그것은 우연히도 뫼비우스의 띠를 만든 우리 제작자들이 3차원 공간에 속해 있기 때문이며, 4차원 공간에 사는 생물이 2차원의 종이를 이용해서 뫼비우스의 띠를 만든다면 그 뫼비우스의 띠는 4차원 공간에 속하게 됩니다. 그러므로 도형이 담겨 있는 공간의 차원은 그 도형의 본질적인 성질이 아닙니다. 일상적인 예를 들어 말하자면, 나라는 사람에 대해 '서울시에서 태어난 사람'이라거나 '남자'라고 표현하는 건 맞겠지만, 학교에 있을 때는 '학교 사람', 피씨방에 있을 때는 '피씨방 사람'이라고 부르는 건 이상하겠지요. 내가 그때그때 어떤 장소에 있냐는 것은 나라는 사람에 대한 본질적인 정보가 아니니까요. 그러므로, 뫼비우스의 띠의 차원은, 그 도형 자체의 차원인 2차원입니다.

여기에 대해, "하지만 뫼비우스의 띠가 담길 수 있는 가장 낮은 차원이 3차원이니까 어떤 의미에서는 3차원 도형이라고 할 수 있지 않을까요?"라고 생각할 수도 있겠네요. 어느 정도는 맞는 생각입니다. 뫼비우스의 띠를 평평한 2차원 평면에 억지로 집어넣을 방법은 없지만, 3차원 공간에서 뫼비우스의 띠를 만드는 건 간단하니까요. 하지만 2차원 도형은 평평한 평면만 있는 게 아납니다. 뫼비우스의 띠를 포함할 수 있는 2차원 도형이 있는데요, 바로 뫼비우스의 띠 자체입니다. 중학교에서 집합을 배울 때, 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이라는 걸 배웠겠지요? 내가 최근에 이야기한 어떤 꼬마는 집합을 왜 배우는지 모르겠다고 하던데, 뭐 세상 모든 건 이런 식으로라도 쓸모가 있는 겁니다. 아, 물론 3차원설이 '어느 정도는 맞는 생각'이라는 거지, 여기까지의 내용을 이해했다면 위 지식인 답변의 4차원설은 반박할 가치도 없는 헛소리라는 걸 알 겁니다.

오해 2. 뫼비우스의 띠는 무한을 나타낸다.

"뫼비우스의 띠 는 3차원으로 끝이 없이 이어지는 절대 끝이 없는 곡선이죠".[2] "보통 상상의 세계에 뫼비우스의 원리로 만들어진 행성이 있다면. 영원이 탈출 할수 없다는 결론이 나옵니다. 이러 한것이 시사하는것은 절망 고통 혼돈(카오스) 같은 것이죠. 인간의 무한한 능력이면서 혼돈 같은 내용을 말하는 뜻입니다."[3]

'무한을 나타내는 도형'이라고 하면 거의 반사적으로 "뫼비우스의 띠!"라고 외치는 사람들이 있습니다. 하지만 뫼비우스의 띠는 무한과는 별 상관이 없습니다. 한번 직접 뫼비우스의 띠를 만들어 보세요. 종이가 무한히 들어서 파산하게 생겼다면 내가 그 빚 다 갚아줄게요. 뱅글뱅글 돌아도 돌아도 원위치니까 무한한 게 아니냐구요? 그런 의미에서라면 무한을 가장 잘 나타내는 도형은 원이지요. 종이값 30원 말고, 동글동글한 1차원 도형 circle 말이에요. 미안하지만 원 대신 뫼비우스의 띠를 예로 든다고 해서 특별히 더 유식해 보이지는 않아요.

다들 알다시피, 뫼비우스의 띠의 특성은 '안쪽 면과 바깥쪽 면이 실제로는 같은 면'이라는 특이한 성질을 가진 2차원 도형이라는 겁니다. 이 성질이 특이한 건 사실이지만, 위의 자료 3처럼 터무니없는 신비주의에 빠지면 곤란해요. 수학의 세계에는 뫼비우스의 띠 이상으로 신기하고 황당한 대상들이 굉장히 많지만, 그런 것들도 논리적으로 사고하기만 하면 칫솔로 이를 닦는 것처럼 간단히 우리가 원하는대로 이용할 수 있습니다.

오해 3. 우주는 뫼비우스의 띠와 유사하다.

"[우주가] 어떻게 생겼는지 아직 잘 모르는 것 같기도 하고. 얘가 3차원적으로 생겨먹었을리도 만무하니..알고보면 뫼비우스의 띄처럼 이어져있을 수도 있고 그럼 그게 무한이냐 유한이냐 웃기게 되는 거고".[4]

우리가 살고 있는 우주는 공간적으로는 3차원이며, 시간축을 포함하면 4차원입니다. (4차원보다 더 높은 차원이라는 주장도 있지만 검증되지는 않았어요.) 그것도 평평한 4차원 공간도 아닌 이곳저곳 구부러지고 찌그러진 4차원 공간이라, 대체 어떻게 생긴 건지 눈에 보이는 형태로 시각화하기가 쉽지 않습니다. 그래서 이해하기 쉽게 우주를 '팽창하는 풍선'으로 비유하기도 하는데요, 약간 오해를 불러일으킬 수 있긴 하지만 대체적으로 좋은 비유입니다.

그 반면, 뫼비우스의 띠는 우주의 형태에 대해서라면 굉장히 나쁜 비유입니다. 뫼비우스의 띠에는 명확히 세계가 끝나는 지점인 '경계선'이 있거든요. (종이로 만든 뫼비우스의 띠를 갖고 놀다가 종이에 손이 베이면, 바로 그 '경계선' 부분에 베인 겁니다.) 물리 우주에 이런 경계선이 있다는 증거는 전혀 없습니다. 꼭 안팎 구분이 없는 곡면을 원한다면, 마찬가지로 안팎의 구분이 없으면서 경계도 없는 도형인 클라인 병이 낫습니다. 사실 나도 조심성이 없어서 종이에 손을 자주 베이는데요, 클라인 병이라면 그럴 걱정이 전혀 없습니다. 음료수를 담은 채로 가방에 넣지만 않으면 돼요.

뫼비우스의 띠의 부적절한 점은 저것만이 아닙니다. 안팎의 구분이 없다, 즉 방향 부여가 불가능하다는 것도 전혀 장점이 아니에요. 우리가 사는 우주에 대국적인 방향 부여가 불가능하다는 증거도 전혀 없으며, 최소한 내가 아는 수준에서는 방향 부여 불가능성이란 게 별다른 물리적 의미를 갖지도 않습니다. 그러므로 현 시점에서 우주를 대략적으로 묘사하는 데 그나마 적절한 저차원 도형은 클라인 병도 아닌 (내부를 포함하지 않는) 2차원 구면(sphere)입니다. 너무 단순한 도형이라 마음에 들지 않나요? 물론 우리 우주에 방향 부여가 가능하다고 증명할 수도 없지만, 어느 한 쪽을 지지하는 증거가 없을 때는 간단한 쪽을 우선적으로 고려하는 게 과학의 기본 원칙입니다. 보다 알기 쉬운 상황으로 설명하자면, "자연수를 하나 말해보세요"라는 요청에 대해 7이나 13이 아닌 784511101545484994473이라고 대답하는 초등학생은 단순히 자기가 그렇게 큰 숫자를 말할 수 있다는 것을 자랑하는 것 뿐입니다.

참고자료
[1] http://kin.naver.com/detail/detail.php?d1id=11&dir_id=110203&eid=lzSVGiIVzCgkdTIcm0v2sQUFF4oSieqN&qb=uP668b/svbrAxyC27CA0wve/+A==
[2] http://kin.naver.com/detail/detail.php?d1id=13&dir_id=1302&eid=pddFRLSoAgzjuaWEs8NwpAqOQCWFYe3F&qb=uP668b/svbrAxyC27CA0wve/+A==
[3] http://kin.naver.com/detail/detail.php?d1id=11&dir_id=110108&eid=TAU8JHHl8yKKpzvvz9SM7Or+cATdTLIx&qb=uP668b/svbrAxyC27CC5q8fR
[4] http://gall.dcinside.com/list.php?id=universe&no=12022&page=1&search_pos=-11731&k_type=0100&keyword=%EA%B9%8C%EB%A7%8C