*만약 이 글을 다른 곳에 올릴 일이 있다면 출처(http://esproj.egloos.com/1373204)를 밝혀주시기 바랍니다.

이 글은 로빈 하트숀(Robin Hartshorne)의 《대수기하학》(Algebraic Geometry) 중 서문 부분을 번역한 것이다. 사실은 아래의 내용 밑에도 책의 양식에 대한 짧은 코멘트(Terminology와 References 부분)가 이어지지만, 내용상 중요치 않은 부분이고 수식을 입력하기도 여의치 않아 일단은 제외했다.

사람 이름의 번역은 약간 고민거리였는데, 외래어 표기법을 따르(려고 하)면서 이름이 처음 나타날 때는 언제나 원어를 병기하는 방법을 택했다. 그 때문에 이름이 많이 나타나는 곳은 조금 지저분해졌다. (그럴 일은 없겠지만) 만약 책 전체를 번역한다면 뒤의 찾아보기(Index)에서 원래 이름을 찾아보도록 하면 본문이 좀 더 깔끔해질 것 같다.

 대수기하학에 대한 입문서를 쓰는 이는 독자에게 기하학적 직관과 예제를 제공하는 동시에 현대 대수기하학의 전문적인 언어를 전개해야 한다는 어려움에 처한다. 이 분야에는 여행의 출발점이 되는 직관적인 착상들과 연구에서 사용되는 방법들 사이에 큰 격차가 있기 때문이다.
 첫번째 문제는 내용을 서술함에 있어 어느 학파의 언어를 따라야 하는가이다. 대수기하학은 각자의 관점과 언어를 가진 여러 학파가 우후죽순처럼 나타나면서 시작되었다. 19세기 말에 리만(Riemann)은 대수기하학에 함수론적으로 접근했으며, 브릴(Brill)과 뇌터(Noether)는 보다 기하학적인 접근 방법을 사용했고, 크로네커(Kronecker)와 데데킨트(Dedekind) 및 베버(Weber)는 순수하게 대수적인 관점으로 접근했다. 그 뒤에 나타난 이탈리아 학파의 카스텔누오보(Castelnuovo), 엔리크(Enriques), 세베리(Severi) 등은 대수곡면의 분류에 성공했다. 그 다음에 나타난 것이 초우(Chow), 베유(Weil)와 차리스키(Zariski)의 "미국 학파"로, 이들은 이탈리아 학파의 직관에 대해 엄밀한 대수적 기초를 제공했다. 비교적 최근에는 세르(Serre)와 그로텐디크(Grothendieck)가 프랑스 학파를 열어 대수기하학을 스킴과 코호몰로지의 언어로 다시 썼으며, 새로운 기술을 사용해 여러 오래된 문제들을 멋지게 풀어내기도 했다. 여기까지 나온 학파들은 전부 각자의 새로운 개념과 방법론을 도입했다. 그렇다면 이 분야의 입문서를 쓸 때 보다 기하학적 직관에 가까운 옛날의 언어를 사용해야 하겠는가, 아니면 처음부터 현재의 연구에서 사용되는 기술적인 언어로 시작하는 것이 좋겠는가?
 두번째 문제는 개념에 관한 것이다. 현대 수학자들은 역사를 망각하는 경향이 있어서, 새로운 학파가 나타날 때마다 학문의 기본 내용을 자신들의 언어로 다시 써내려간다. 이는 논리적으로는 문제가 없으나 교육적인 면에서는 좋지 못한 방법이다. 대수적 수체의 정수환이나 대수곡선 및 컴팩트 리만 곡면 등이 전부 "1차원 정칙 스킴"의 예라는 것을 모르는 학생이 스킴의 정의를 아는 것이 무슨 소용이 있겠는가? 따라서 입문서의 저자는 독자에게 대수기하학이 어떻게 수론과 가환대수학 및 복소해석학에서 유래하는지를 알려주는 것과 함께 이 분야의 주 연구 대상인 아핀 및 사영공간의 대수다양체를 소개하고, 이와 동시에 스킴과 코호몰로지의 현대적 언어를 기술해야 할 것이다. 이런 상황에서, 어떤 주제들로 책을 구성해야 독자에게 대수기하학의 의미를 전달하고 이후의 학습 및 연구의 튼튼한 기초가 될 수 있을 것인가?

 나는 개인적으로 고전 기하학적 관점을 선호하는 편으로, 대수기하학에서 가장 중요한 문제는 아핀 및 사영공간의 옛날식 다양체에 관한 것들이라고 믿는다. 모든 발전은 고전적인 문제들이 제공하는 기하학적 직관으로부터 나온다. 이 책은 대수다양체를 다루는 장으로 시작해 많은 예제와 기본적인 착상들을 기술적인 세부사항 없이 최대한 간단한 형태로 다룬다. 그 뒤에야 이 책의 기술적 중심부인 II장과 III장에서 스킴과 일관된 층(coherent sheaf) 및 코호몰로지의 언어를 전개한다. 나는 이 부분의 가장 중요한 결과들을 제시함에 있어 꼭 최대한의 일반성을 획득하려 하지는 않았다. 예를 들어, 코호몰로지 이론은 뇌터 스킴 상의 준일관된 층(quasi-coherent sheaf)의 경우로 한정했는데, 이는 이 경우가 보다 간단하며 대부분의 용도에 충분하기 때문이다. 또한 "직상 층(direct image sheaf)의 일관성 정리"는 일반적인 고유사상(proper morphism)이 아닌 사영사상의 경우에 대해서만 증명했다. 같은 이유에서 표현가능한 펑터, 대수공간, 에탈 코호몰로지, 사이트, 토포스 등의 추상적인 개념들은 이 책에 포함시키지 않았다.
 네번째와 다섯번째 장은 스킴과 코호몰로지를 이용하여 비특이 사영곡선 및 곡면 등의 고전적인 주제를 다룬다. 앞의 두 장에서 기술적인 도구를 습득하기 위해 들어간 노력이 이 부분에서의 응용을 통해 보답받을 수 있을 것으로 기대한다.
 대수기하학을 서술하는 기본적인 언어 및 논리적 밑바탕으로서는, 다른 접근법들보다 구체적인 가환대수학을 선택했다. 또한 여기에는 임의의 표수를 갖는 체 상에서의 작업(수론에의 응용을 위해서는 필수적이다)을 통해 고전적인 바탕체 C의 경우에 대한 새로운 시각을 얻을 수도 있다는 장점도 있다. 몇 년 전, 차리스키가 대수기하학 책을 쓰려고 했을 때, 그는 그 과정에서 필요한 대수학을 하나 하나 만들면서 나아갔다. 이는 진행하면 할 수록 막중한 작업이 되었고, 결국 차리스키의 책은 가환대수학 교과서로 끝나고 말았다. 그 반면, 지금은 아티야-맥도널드(Atiyah-Macdonald)[1], 부르바키[1], 마츠무라(Matsumura)[1], 나가타(Nagata)[7], 차리스키-새뮤얼(Zariski-Samuel)[1]을 비롯해 가환대수학에 대한 훌륭한 책들이 많이 있다. 나는 대수학적 결과들을 필요할 때마다 인용하고, 증명은 참고문헌에 맡기는 방향으로 나아갈 것이다. 책의 마지막에 증명 없이 사용된 결과들의 목록을 작성해 놓았다.
 원래 나는 이 책에 꽤 여러 장의 부록-책의 내용과 최신 연구 논문들 사이를 연결하기 위한 짧은 글들-을 덧붙일 계획이었다. 그러나 시간과 공간의 제약으로 인해 세 개만이 남게 되었다. 나머지에 대해서는 아쉽지만 비전문가를 대상으로 여러 분야의 전문가들이 쓴 글을 모아놓은 아카타(하트숀 편(Hartshorne, ed.)[1])를 참고하기 바란다. 대수기하학의 역사적 발전 과정에 대해서는 듀도네(Dieudonné)[1]에서 다루고 있다. 또한 이 책에서 내가 원했던 만큼 대수기하학과 다른 분야 사이의 관계를 다루지 못했으므로, 수론과의 연관성에 대해서는 캐슬즈(Cassels)[1], 복소다양체론 및 위상수학과의 관계에 대해서는 샤파레비치(Shafarevich)[2, III부]의 몫으로 돌리겠다.
 나는 학습이란 능동적인 행위라는 강한 신념을 갖고 있으므로, 이 책은 중요한 연습문제들을 상당히 많이 포함하고 있다. 이들은 책에서 다루어지지 않은 중요한 결과를 포함하고 있거나, 일반적으로 나타나는 현상에 대한 예를 제시해 준다. 나는 예제들을 학습하는 것이 일반적인 이론의 서술과 불가분의 관계에 있다고 믿는다. 이 분야를 제대로 공부할 마음이 있는 학생은 이 책에서 가능한 한 많은 연습문제에 도전해 볼 필요가 있으나, 문제들을 바로 풀 수 있으리라 기대해서는 안 된다. 많은 문제들은 이해를 위해 실로 창조적인 노력을 필요로 한다. 별표가 하나 달린 문제는 보통보다 어려운 것이며, 별표가 두 개 달린 것은 미해결 문제이다.
 (I, ∮8)에 대수기하학 및 이 책에 대한 추가적인 소개가 있다.