분포(distribution)

어제 Rudin의 함수해석학에서 분포에 대한 부분을 봤는데, 정의가 신기했다.

간단히 말해 함수공간에 디랙 델타 같은 이상한 것들이 들어갈 수 있도록 확장하는 건데, 구체적으로는 '모든 적분가능한 함수'가 무한번 미분 가능하도록 하는 것이다. 물론 여기에서 '적분'은 리만적분보다 르벡적분으로 잡으면 범위가 굉장히 넓다.

핵심은 함수 f를, g를 Int(fg)로 보내는 범함수(functional)로 취급하는 것이다. (여기에서 Int는 음의 무한대에서 양의 무한대까지 적분.) 여기에서 f의 "미분"을 정의하는 방법이 재밌는데, 라이프니츠 법칙 (fg)' = f'g + fg'을 이용한다. g를 서포트가 컴팩트한 함수로 잡으면 Int(f'g + fg') = Int((fg)') = fg(inf) - fg(-inf) = 0 - 0 = 0이 되므로, f'(g) = -f(g')으로 정의하면 된다. (여기에서 f(g)는 g를 범함수 f에 집어넣어서 나온 상인 Int(fg).) 역시 어느정도 이상의 수준에서 미분 = 라이프니츠인가 보다.

여기에서 서포트가 컴팩트한 함수를 test function이라고 하는데, 이것들을 열린 정의역 Omega로 한정한 것을 D(Omega)로 쓰고, 이걸 컴팩트한 K로 더 한정한 것을 D_K로 쓰자. 여기에 속하는 함수들에 대해, || ||_N 이라는 노름을 "K에서 N번까지 편미분한 계수 중에서 제일 큰 것"으로 정의하면 이는 D_K에 프레쳇(Frechet) 위상 tau_K를 주는데, 이를 Omega 전체로 확장하면 (노름에서 바로 나왔으니 거리부여(metrization)는 가능하지만) 코시수열의 극한의 서포트가 컴팩트하지 않아서 완비(complete)가 아니라는 단점이 있다.

그래서, D(Omega)에 속하는 임의의 f와 convex balanced인 부분집합 W에 대해, W와 D_K의 교집합이 tau_K에서 열린 경우, f + W를 열린 집합으로 정의하는 위상 tau를 생각하는데, 이건 완비가 된다고 한다. (증명은 귀찮아서 안읽었다.) 그 대신 empty interior를 갖는 D_K들의 합집합으로 표현되므로 Baire 범주정리에 따라 거리부여는 불가능하다. 이때, 벡터공간 D(Omega) 상의 연속 선형 범함수을 "분포"라고 한다. 여기에서 '연속'은 물론 위상 tau에 대한 것이다. D(Omega)는 이 분포의 공간(자기 자신의 continuous dual)에 부분집합으로 포함된다는 점에 주의할 것.

by esproj | 2007/06/25 14:58 | 수학 및 자연과학 | 트랙백 | 덧글(3)
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Commented by esproj at 2007/06/25 15:10
의도한 건 아닌데 써놓고 보니 완전 <오늘의 정의>가 됐네.
Commented by cherub at 2007/06/26 11:35
프레쳇>프레쉐. 프랑스 사람입니다.:)
Commented by 0a at 2016/08/10 14:18
좋은 글 감사합니다.

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